Problem 1. Min Max Subarrays

USACO 2025 February Contest, Platinum

注意：本题的时间限制为 3 秒，通常限制的 1.5 倍。

给定一个长为 $N$ 的整数数组 $a_1,a_2,\dots,a_N$（$2\le N \le 10^6$，$1\le a_i\le N$)。输出所有 $N(N+1)/2$ 个 $a$ 的连续子数组的以下子问题的答案之和。

给定一个非空整数列表，交替执行以下操作（从第一个操作开始）直到列表大小恰好为一。

1. 将列表内的两个相邻整数替换为它们的较小值。
2. 将列表内的两个相邻整数替换为它们的较大值。

求最终余下的整数的最大可能值。

例如，

[4, 10, 3] -> [4, 3] -> [4]
[3, 4, 10] -> [3, 10] -> [10]

在第一个数组中，$(10, 3)$ 被替换为 $\min(10, 3)=3$，随后 $(4, 3)$ 被替换为 $\max(4, 3)=4$。

输入格式（从终端 / 标准输入读入）：

输入的第一行包含 $N$。

第二行包含 $a_1,a_2,\dots,a_N$。

输出格式（输出至终端 / 标准输出）：

输出所有连续子数组的子问题的答案之和。

输入样例：

2
2 1

输出样例：

4

对于 $[2]$ 答案为 $2$，对于 $[1]$ 答案为 $1$，对于 $[2, 1]$ 答案为 $1$。

因此，我们的输出应当为 $2+1+1 = 4$。

输入样例：

3
3 1 3

输出样例：

12

输入样例：

4
2 4 1 3

输出样例：

22

考虑子数组 $[2, 4, 1, 3]$。

1. 在 (1, 3) 上应用第一次操作，我们的新数组是 $[2, 4, 1]$。
2. 在 (4, 1) 上应用第二次操作，我们的新数组是 $[2, 4]$。
3. 在 (2, 4) 上应用第三次操作，我们最终的数是 $2$。

可以证明 $2$ 是最终的数的最大可能值。

测试点性质： 测试点 4-5：$N\le 100$。测试点 6-7：$N\le 5000$。测试点 8-9：$\max(a)\le 10$。测试点 10-13：没有额外限制。

供题：Benjamin Qi