Problem 3. Cowlendar

USACO 2024 January Contest, Silver

Bessie 在一个陌生的星球上醒来。这个星球上有 $N$（$1\le N\le 10^4$）个月，分别有 $a_1, \ldots, a_N$ 天（$1\leq a_i \leq 4 \cdot 10^9$，所有 $a_i$ 均为整数）。此外，这个星球上还存在周，一周为 $L$ 天，其中 $L$ 是一个正整数。有趣的是，Bessie 知道以下事情：

• 对于正确的 $L$，每个月至少有 $4$ 周。
• 对于 正确的 $L$，$a_i\bmod L$ 至多有 $3$ 个不同值。

不幸的是，Bessie 忘记了 $L$ 是多少！请通过输出 $L$ 的所有可能值之和来帮助她。

注意这个问题涉及到的整数可能需要使用 64 位整数型（例如，C/C++ 中的 "long long"）。

输入格式（从终端 / 标准输入读入）：

输入的第一行包含一个整数 $N$。第二行包含 $N$ 个空格分隔的整数 $a_1, \ldots, a_N$。

输出格式（输出至终端 / 标准输出）：

输出一个整数，为 $L$ 的所有可能值之和。

输入样例：

12
31 28 31 30 31 30 31 31 30 31 30 31

输出样例：

28

$L$ 的可能值为 1，2，3，4，5，6 和 7。例如，$L=7$ 是合法的，因为每个月的至少有 $4 \cdot 7 = 28$ 天，且每个月的天数模 7 的余数均为 0，2 或 3。

输入样例：

4
31 35 28 29

输出样例：

23

$L$ 的可能值为 1，2，3，4，6 和 7。例如，$L=6$ 是合法的，因为每个月的至少有 $4 \cdot 6 = 24$ 天，且每个月的天数模 6 的余数均为 1，4 或 5。

测试点性质： 测试点 3-4：$1 \leq a_i \leq 10^6$。测试点 5-14：没有额外限制。

供题：Brandon Wang