Problem 3. Nap Sort

USACO 2024 January Contest, Gold

Bessie 正在尝试使用她自己的排序算法对一个整数数组进行排序。她有一堆共 $N$（$1 \leq N \leq 2\cdot 10^5$）个整数 $a_1,a_2,\dots,a_N$（$1 \leq a_i \leq 10^{11}$），她将会按排序顺序将这些数放入一个单独的数组中。她反复查找这堆数中的最小数，将其删除，同时将其添加到数组的末尾。Bessie 在 $p$ 个数的堆中找到最小数需要花费 $p$ 秒。

Farmer John 命令了农场中其他一些奶牛帮助 Bessie 完成任务，她们很懒，然而 Bessie 利用了这一点。她将整数分成两堆：Bessie 堆和助手堆。对于 Bessie 堆中的每个整数，她会正常执行她的算法。对于助手堆中的每个整数，她将其分配给不同的助手奶牛。Farmer John 有一个很大的农场，所以 Bessie 可以找来任意多的助手奶牛。如果助手收到整数 $a_i$，Bessie 会指示该牛小睡 $a_i$ 秒，并在她们醒来时立即将该整数添加到数组末尾。如果 Bessie 和一个助手同时向数组添加整数，Bessie 的整数将优先被添加，因为她是领导者。如果多个助手被分配了相同的整数，她们会同时将多个该整数添加到数组中。

请帮助 Bessie 划分她的数，使得最终得到的数组是排序的，并使得排序该数组所需的时间最少。

输入格式（从终端 / 标准输入读入）：

输入的第一行包含 $T$，为独立的测试用例的数量（$1\le T\le 10$）。

每个测试用例的格式如下：

每个测试用例的第一行包含 Bessie 的数组中的数的数量 $N$。

下一行包含 $a_1, a_2, \dots, a_N$，为 Bessie 将要排序的整数。相同的数值可能会多次出现。

输入保证所有测试用例的 $N$ 之和不超过 $2\cdot 10^5$。

输出格式（输出至终端 / 标准输出）：

对于每个测试用例输出一行，包含当 Bessie 以最优方案划分她的数时，排序该数组所需要的最小时间。

输入样例：

4
5
1 2 4 5 100000000000
5
17 53 4 33 44
4
3 5 5 5
6
2 5 100 1 4 5

输出样例：

6
15
5
6

在第一个测试用例中，Bessie 可以将 $1,2$ 分配给助手，将 $4,5,10^{11}$ 留给自己。

时间 | 事件
-----+----------------------
1    | 助手添加了 1
2    | 助手添加了 2
3    | Bessie 添加了 4
5    | Bessie 添加了 5
6    | Bessie 添加了 10^{11}

在第二个测试用例中，Bessie 的最优方案是自己对所有数进行排序。一个

不正确

的划分是 Bessie 将 $4$ 分配给助手，其余的分配给她自己，因为助手将 $4$ 添加到数组之前 Bessie 就会将 $17$ 添加到数组中。

在第三个测试用例中，Bessie 可以将所有数都分配给助手。

在第四个测试用例中，Bessie 可以将 $1,4,5$ 分配给助手，将 $2,5,100$ 留给自己。

时间 | 事件
-----+------------------
1    | 助手添加了 1
3    | Bessie 添加了 2
4    | 助手添加了 4
5    | Bessie 添加了 5
5    | 助手添加了 5
6    | Bessie 添加了 100

测试点性质： 测试点 2：$N\le 16$。测试点 3-5：$N\le 150$。测试点 6-8：$\sum N\le 5000$。测试点 9-11：没有额外限制。

供题：Suhas Nagar