Problem 3. Mooball Teams III

USACO 2024 January Contest, Platinum

Farmer John 在他的农场上有 $N$ 头牛（$2 \leq N \leq 2\cdot 10^5$），编号为 $1 \dots N$。奶牛 $i$ 位于整数坐标 $(x_i, y_i)$（$1\le x_i,y_i\le N$）。Farmer John 想要挑选两支队伍来玩哞球游戏！

其中一支队伍将是「红队」；另一队将是「蓝队」。对组队只有很少的要求。两队都不能为空，并且 $N$ 头奶牛中的每一头至多只能在一个队中（可以两队都不在）。唯一的其他要求是基于哞球独特的特点：一个无限长的网，必须将其放置为平面中非整数坐标的水平或垂直直线，例如 $x = 0.5$。FJ 挑选队伍必须使得可以用网将两队分开。奶牛们不愿意为此进行移动。

帮帮农夫吧！为 Farmer John 计算选择满足上述要求的红队和蓝队的方法数，对 $10^9+7$ 取模。

输入格式（从终端 / 标准输入读入）：

输入的第一行包含一个整数 $N$。

以下 $N$ 行每行包含两个空格分隔的整数 $x_i$ 和 $y_i$。输入保证 $x_i$ 组成 $1\dots N$ 的一个排列，$y_i$ 类似。

输出格式（输出至终端 / 标准输出）：

输出一个整数，为选择满足上述要求的红队和蓝队的方法数，对 $10^9+7$ 取模。

输入样例：

2
1 2
2 1

输出样例：

2

我们可以选择红队为牛 1，蓝队为牛 2，或者相反。无论哪种情况，我们都可以用一个网将两支球队分开（例如，$x=1.5$）。

输入样例：

3
1 1
2 2
3 3

输出样例：

10

以下是所有的十种可能的将奶牛分队的方法；第 $i$ 个字符表示第 $i$ 头奶牛的队伍，R 表示红队，B 表示蓝队，或 . 表示第 $i$ 头奶牛不在一个队伍中。

RRB
R.B
RB.
RBB
.RB
.BR
BRR
BR.
B.R
BBR

输入样例：

3
1 1
2 3
3 2

输出样例：

12

以下是所有的十二种可能的将奶牛分队的方法：

RRB
R.B
RBR
RB.
RBB
.RB
.BR
BRR
BR.
BRB
B.R
BBR

输入样例：

40
1 1
2 2
3 3
4 4
5 5
6 6
7 7
8 8
9 9
10 10
11 11
12 12
13 13
14 14
15 15
16 16
17 17
18 18
19 19
20 20
21 21
22 22
23 23
24 24
25 25
26 26
27 27
28 28
29 29
30 30
31 31
32 32
33 33
34 34
35 35
36 36
37 37
38 38
39 39
40 40

输出样例：

441563023

确保输出答案对 $10^9+7$ 取模。

测试点性质： 测试点 5：$N\le 10$。测试点 6-9：$N\le 200$。测试点 10-13：$N\le 3000$。测试点 14-24：没有额外限制。

供题：Dhruv Rohatgi