Problem 2. Walking Along a Fence

USACO 2024 US Open Contest, Bronze

Farmer John 的 $N$ 头奶牛（$1 \leq N \leq 10^5$）每头都喜欢日常沿围着牧场的栅栏散步。

栅栏由 $P$ 根柱子组成（$4 \leq P \leq 2\cdot 10^5$，$P$ 为偶数），每根柱子的位置是 FJ 农场地图上的一个不同的二维坐标点 $(x,y)$（$0 \leq x, y \leq 1000$）。每根柱子通过垂直或水平线段的栅栏连接到两根相邻的柱子，因此整个栅栏可以被视为各边平行于 x 轴或 y 轴的一个多边形（最后一根柱子连回第一根柱子，确保围栏形成一个包围牧场的闭环）。栅栏多边形是「规则的」，体现在栅栏段仅可能在其端点处重合，每根柱子恰好属于两个栅栏段，同时每两个在端点处相交的栅栏段都是垂直的。

每头奶牛的日常散步都有一个偏好的起始和结束位置，均为沿栅栏的某个点（可能在柱子处，也可能不在）。每头奶牛日常散步时沿着栅栏行走，从起始位置开始，到结束位置结束。由于栅栏形成闭环，奶牛有两条路线可以选择。由于奶牛是一种有点懒的生物，每头奶牛都会选择距离较短的方向沿栅栏行走（如果并列，奶牛可以选择任一方向）。

求每头奶牛行走的距离。

输入格式（从终端 / 标准输入读入）：

输入的第一行包含 $N$ 和 $P$。以下 $P$ 行的每一行包含两个整数，以顺时针或逆时针顺序表示栅栏柱子的位置。以下 $N$ 行的每一行包含四个整数 $x_1$ $y_1$ $x_2$ $y_2$，表示一头奶牛的起始位置 $(x_1, y_1)$ 和结束位置 $(x_2, y_2)$。

输出格式（输出至终端 / 标准输出）：

输出 $N$ 个整数，为每头奶牛行走的距离。

输入样例：

5 4
0 0
2 0
2 2
0 2
0 0 0 2
0 2 1 0
2 1 0 2
1 0 1 2
1 2 1 0

输出样例：

2
3
3
4
4

第一头奶牛可以直接从 $(0,0)$ 走到 $(0,2)$。

第二头奶牛可以从 $(0,2)$ 走到 $(0,0)$，然后走到 $(1,0)$。

第四头奶牛有两条长度相等的可能路线：$(1,0)\to (0,0)\to (0,2)\to (1,2)$ 和 $(1,0)\to (2,0)\to (2,2)\to (1,2)$。

测试点性质： 测试点 2-6：$0\le x,y \le 100$ 且 $N\le 100$。测试点 7-11：没有额外限制。

供题：Brian Dean