Problem 2. Painting Fence Posts

USACO 2024 US Open Contest, Silver

注意：本题的时间限制和内存限制为 3 秒 和 512MB，分别为通常限制的 1.5 倍和 2 倍。

Farmer John 的 $N$ 头奶牛（$1 \leq N \leq 10^5$）每头都喜欢日常沿围着牧场的栅栏散步。不幸的是，每当一头奶牛走过栅栏柱子时，她就会碰到它，这要求 Farmer John 需要定期重新粉刷栅栏柱子。

栅栏由 $P$ 根柱子组成（$4 \leq P \leq 2\cdot 10^5$，$P$ 为偶数），每根柱子的位置是 FJ 农场地图上的一个不同的二维坐标点 $(x,y)$（$0 \leq x, y \leq 10^9$）。每根柱子通过垂直或水平线段的栅栏连接到两根相邻的柱子，因此整个栅栏可以被视为各边平行于 x 轴或 y 轴的一个多边形（最后一根柱子连回第一根柱子，确保围栏形成一个包围牧场的闭环）。栅栏多边形是「规则的」，体现在栅栏段仅可能在其端点处重合，每根柱子恰好属于两个栅栏段，同时每两个在端点处相交的栅栏段都是垂直的。

每头奶牛的日常散步都有一个偏好的起始和结束位置，均为沿栅栏的某个点（可能在柱子处，也可能不在）。每头奶牛日常散步时沿着栅栏行走，从起始位置开始，到结束位置结束。由于栅栏形成闭环，奶牛有两条路线可以选择。由于奶牛是一种有点懒的生物，每头奶牛都会选择距离较短的方向沿栅栏行走。值得注意的是，这个选择总是明确的——不存在并列的情况！

一头奶牛会触碰一根栅栏柱子，当她走过这根柱子，或者当这根栅栏柱子是她散步的起点或终点时。请帮助 FJ 计算每个栅栏柱子每天所经历的触碰次数，以便他知道接下来要重新粉刷哪根柱子。

可以证明，给定所有柱子的位置，组成的栅栏仅有唯一的可能性。

输入格式（从终端 / 标准输入读入）：

输入的第一行包含 $N$ 和 $P$。以下 $P$ 行的每一行包含两个整数，表示栅栏柱子的位置，没有特定的顺序。以下 $N$ 行的每一行包含四个整数 $x_1$ $y_1$ $x_2$ $y_2$，表示一头奶牛的起始位置 $(x_1, y_1)$ 和结束位置 $(x_2, y_2)$。

输出格式（输出至终端 / 标准输出）：

输出 $P$ 个整数，包含每个栅栏柱子所经历的触碰次数。

输入样例：

5 4
3 1
1 5
3 5
1 1
2 1 1 5
1 5 3 4
3 1 3 5
2 1 2 1
3 2 3 3

输出样例：

1
2
2
1

柱子以如下方式由栅栏段连接：

$$(3,1)\leftrightarrow (3, 5) \leftrightarrow (1,5) \leftrightarrow (1,1) \leftrightarrow (3,1)$$

各奶牛接触的柱子如下：

1. 柱子 $2$ 和 $4$。
2. 柱子 $2$ 和 $3$。
3. 柱子 $1$ 和 $3$。
4. 无。
5. 无。

输入样例：

2 8
1 1
1 2
0 2
0 3
0 0
0 1
2 3
2 0
1 1 2 1
1 0 1 3

输出样例：

1
0
0
0
1
1
1
2

输入样例：

1 12
0 0
2 0
2 1
1 1
1 2
3 2
3 3
1 3
1 4
2 4
2 5
0 5
2 2 0 2

输出样例：

1
1
1
1
1
0
0
0
0
0
0
0

测试点性质： 测试点 4-6：$N,P\le 1000$。测试点 7-9：所有位置均有 $0\le x, y\le 1000$。测试点 10-15：没有额外限制。

供题：Brian Dean