Problem 3. The 'Winning' Gene

USACO 2024 US Open Contest, Silver

注意：本题的内存限制为 512MB，通常限制的 2 倍。

在多年举办比赛并看着 Bessie 一次又一次地获得第一名后，Farmer John 意识到这绝非偶然。他得出结论，Bessie 一定将胜利写进了 DNA，于是他开始寻找这种「胜利」基因。

他设计了一个过程来识别这个「胜利」基因的可能候选。他获取了 Bessie 的基因组，为一个长为 $N$ 的字符串 $S$，其中 $1 \leq N \leq 3000$。他选择某个数对 $(K,L)$，其中 $1 \leq L \leq K \leq N$，表示「胜利」基因候选的长度将为 $L$，并且将在一个较大的 $K$ 长度子串中进行寻找。为了识别这一基因，他从 $S$ 中取出所有 $K$ 长度的子串，我们将称这样的子串为一个 $K$-mer。对于一个给定的 $K$-mer，他取出其所有长度为 $L$ 的子串，将字典序最小的子串识别为胜利基因候选（如果存在并列则选择其中最左边的子串），然后将该字串在 $S$ 中的起始位置 $p_i$（从 $0$ 开始索引）写入一个集合 $P$。

由于他还没有选定 $K$ 和 $L$，他想知道每对 $(K,L)$ 将有多少个候选。

对于 $1\dots N$ 中的每一个 $v$，帮助他求出满足 $|P|=v$ 的 $(K,L)$ 对的数量。

输入格式（从终端 / 标准输入读入）：

输入的第一行包含 $N$，为字符串的长度。第二行包含 $S$，为给定的字符串。输入保证所有字符均为大写字符，其中 $s_i \in A-Z$，因为奶牛遗传学远比我们的高级。

输出格式（输出至终端 / 标准输出）：

对于 $1\dots N$ 中的每一个 $v$，输出满足 $|P|=v$ 的 $(K,L)$ 对的数量，每行输出一个数。

输入样例：

8
AGTCAACG

输出样例：

11
10
5
4
2
2
1
1

在这个测试用例中，输出的第三行为 5 是因为我们发现恰好有 5 对 $K$ 和 $L$ 存在三个「胜利」基因候选。这些候选为（其中 $p_i$ 从 $0$ 开始索引）：

(4,2) -> P = [0,3,4]
(5,3) -> P = [0,3,4]
(6,4) -> P = [0,3,4]
(6,5) -> P = [0,1,3]
(6,6) -> P = [0,1,2]

为了了解 (4,2) 如何得到这些结果，我们取出所有的 $4$-mer

AGTC
GTCA
TCAA
CAAC
AACG

对于每一个 $4$-mer，我们识别出字典序最小的长度为 2 的子串

AGTC -> AG
GTCA -> CA
TCAA -> AA
CAAC -> AA
AACG -> AA

我们取出所有这些子串在原字符串中的位置并将它们添加到集合 $P$ 中，得到 $P = [0,3,4]$。

另一方面，如果我们关注 $(4,1)$ 对，我们会发现这只会得到总共 $2$ 个「胜利」基因候选。如果我们取出所有的 $4$-mer 并识别字典序最小的长度为 $1$ 的子串（用 A，A' 和 A* 来区分不同的 A），我们得到

AGTC -> A
GTCA' -> A'
TCA'A* -> A'
CA'A*C -> A'
A'A*CG -> A'

尽管 A' 和 A* 在最后 3 种情况下字典序均为最小，但最左边的子串优先，因此仅有 A' 在所有这些情况中被视为候选。这意味着 $P = [0,4]$。

测试点性质： 测试点 2-4：$N \leq 100$。测试点 5-7：$N \leq 500$。测试点 8-16：没有额外限制。

供题：Suhas Nagar