Problem 1. Sum of Distances

USACO 2021 January Contest, Platinum

Bessie 有一些无向连通图 $G_1,G_2,\ldots,G_K$（$2\le K\le 5\cdot 10^4$）。对于每一个 $1\le i\le K$，$G_i$ 有 $N_i$（$N_i\ge 2$）个编号为 $1\ldots N_i$ 的结点与 $M_i$（$M_i\ge N_i-1$）条边。$G_i$ 可能含有自环，但同一对结点之间不会存在多条边。

现在 Elsie 用 $N_1\cdot N_2\cdots N_K$ 个结点建立了一个新的无向图 $G$，每个结点用一个 $K$ 元组 $(j_1,j_2,\ldots,j_K)$ 标号，其中 $1\le j_i\le N_i$。若对于所有的 $1\le i\le K$，$j_i$ 与 $k_i$ 在 $G_i$ 中连有一条边，则在 $G$ 中结点 $(j_1,j_2,\ldots,j_K)$ 和 $(k_1,k_2,\ldots,k_K)$ 之间连有一条边。

定义 $G$ 中位于同一连通分量的两个结点的

距离

为从一个结点到另一个结点的路径上的最小边数。计算 $G$ 中结点 $(1,1,\ldots,1)$ 与所有与其在同一连通分量的结点的距离之和，对 $10^9+7$ 取模。

输入格式（从终端/标准输入读入）：

输入的第一行包含 $K$，为图的数量。

每个图的描述的第一行包含 $N_i$ 和 $M_i$，以下是 $M_i$ 条边。

为提高可读性，相邻的图之间用一个空行隔开。输入保证 $\sum N_i\le 10^5$ 以及 $\sum M_i\le 2\cdot 10^5$。

输出格式（输出至终端/标准输出）：

输出结点 $(1,1,\ldots,1)$ 与所有该结点可以到达的结点的距离之和，对 $10^9+7$ 取模。

输入样例：

2

2 1
1 2

4 4
1 2
2 3
3 4
4 1

输出样例：

4

$G$ 包含 $2\cdot 4=8$ 个结点，其中 $4$ 个结点不与结点 $(1,1)$ 连通。有 $2$ 个结点与 $(1,1)$ 的距离为 $1$，$1$ 个结点的距离为 $2$。所以答案为 $2\cdot 1+1\cdot 2=4$。

输入样例：

3

4 4
1 2
2 3
3 1
3 4

6 5
1 2
2 3
3 4
4 5
5 6

7 7
1 2
2 3
3 4
4 5
5 6
6 7
7 1

输出样例：

706

$G$ 包含 $4\cdot 6\cdot 7=168$ 个结点，均与结点 $(1,1,1)$ 连通。对于每一个 $i\in [1,7]$，与结点 $(1,1,1)$ 距离为 $i$ 的结点数量为下列数组中的第 $i$ 个元素：$[4,23,28,36,40,24,12]$。

测试点性质： 测试点 3-4 满足 $\prod N_i\le 300$。测试点 5-10 满足 $\sum N_i\le 300$。测试点 11-20 没有额外限制。

供题：Benjamin Qi