Problem 3. Counting Graphs

USACO 2021 February Contest, Platinum

Bessie 有一个连通无向图 $G$。$G$ 有 $N$ 个编号为 $1\ldots N$ 的结点，以及 $M$ 条边（$1\le N\le 10^2, N-1\le M\le \frac{N^2+N}{2}$）。$G$ 有可能包含自环（一个结点连到自身的边），但不包含重边（连接同一对结点的多条边）。

令 $f_G(a,b)$ 为一个布尔函数，对于每一个 $1\le a\le N$ 和 $0\le b$，如果存在一条从结点 $1$ 到结点 $a$ 的路径恰好经过了 $b$ 条边，则函数值为真，否则为假。如果一条边被经过了多次，则这条边会被计算相应的次数。

Elsie 想要复制 Bessie。具体地说，她想要构造一个无向图 $G'$，使得对于所有的 $a$ 和 $b$，均有 $f_{G'}(a,b)=f_G(a,b)$。

你的工作是计算 Elsie 可以构造的图 $G'$ 的数量，对 $10^9+7$ 取模。与 $G$ 一样，$G'$ 可以包含自环而不能包含重边（这意味着对于 $N$ 个有标号结点共有 $2^{\frac{N^2+N}{2}}$ 个不同的图）。

每个输入包含 $T$（$1\le T\le \frac{10^5}{4}$）组独立的测试用例。保证所有测试用例中的 $N^2$ 之和不超过 $10^5$。

输入格式（从终端 / 标准输入读入）：

输入的第一行包含 $T$，为测试用例的数量。

每个测试用例的第一行包含整数 $N$ 和 $M$。

每个测试用例的以下 $M$ 行每行包含两个整数 $x$ 和 $y$（$1\le x\le y\le N$），表示 $G$ 中存在一条连接 $x$ 与 $y$ 的边。

为提高可读性，相邻的测试用例之间用一个空行隔开。

输出格式（输出至终端 / 标准输出）：

对每个测试用例，输出一行，为不同的 $G'$ 的数量，对 $10^9+7$ 取模。

输入样例：

1

5 4
1 2
2 3
1 4
3 5

输出样例：

3

在第一个测试用例中，$G'$ 可以等于 $G$，或以下两个图之一：

5 4
1 2
1 4
3 4
3 5

5 5
1 2
2 3
1 4
3 4
3 5

输入样例：

7

4 6
1 2
2 3
3 4
1 3
2 4
1 4

5 5
1 2
2 3
3 4
4 5
1 5

5 7
1 2
1 3
1 5
2 4
3 3
3 4
4 5

6 6
1 2
2 3
3 4
4 5
5 6
6 6

6 7
1 2
2 3
1 3
1 4
4 5
5 6
1 6

10 10
1 1
1 2
1 3
1 4
1 5
1 6
1 7
1 8
1 9
1 10

22 28
1 2
2 3
3 4
4 5
5 6
6 7
1 7
1 8
3 9
8 10
10 11
10 12
10 13
10 14
11 15
12 16
13 17
14 18
9 15
9 16
9 17
9 18
15 19
19 20
15 20
16 21
21 22
16 22

输出样例：

45
35
11
1
15
371842544
256838540

有一些较大的测试用例。确保你的答案对 $10^9+7$ 取模。注意倒数第二个测试用例的答案为 $2^{45}\pmod{10^9+7}$。

测试点性质： 测试点 3 的所有测试用例满足 $N\le 5$。测试点 4-5 的所有测试用例满足 $M=N-1$。测试点 6-11 的所有测试用例中，如果并非对于所有的 $b$ 均有 $f_G(x,b)=f_G(y,b)$，则存在 $b$ 使得 $f_G(x,b)$ 为真且 $f_G(y,b)$ 为假。 测试点 12-20 中的测试用例没有额外限制。

供题：Benjamin Qi