Problem 3. Valleys

USACO 2019 US Open Contest, Platinum

Bessie喜欢观光，而今天她正在寻找景色优美的山谷。

她感兴趣的是一个$N \times N$的方阵，其中每个格子都有一个高度。所有在此正方形方阵之外的格子的高度可以被看作是无限大。

山谷指的是一块连续、不含洞的一块区域，并且每个相邻的包围该区域的格子都高于这块区域中的所有格子。

更形式化地说：

• 一组格子被称作是“沿边相邻的”，如果可以从其中任意一个格子出发，经过一些沿上、下、左、右方向的移动，到达其中所有其他格子。
• 一组格子被称作是“沿点相邻的”，如果可以从其中任意一个格子出发，经过一些沿上、下、左、右、对角线方向的移动，到达其中所有其他格子。
• 一个“区域”指的是一组非空并且沿边相邻的格子。
• 一个区域被称作是“有洞的”，如果这个区域的补集（包括在$N \times N$方阵之外的无限高格子）不是沿点相邻的。
• 区域的“边界”指的是所有与该区域内的某个格子正交相邻（上、下、左、右），但本身不在该区域内的格子。
• 一个“山谷”指的是某个非有洞区域，满足区域内的任意格子的高度低于该区域边界上任意格子的高度。

Bessie的目标是求出所有山谷的大小之和。

一些例子 这是一个区域：

oo. ooo ..o 这不是一个区域（中间的格子和右下角的格子不沿边相邻）：

oo. oo. ..o 这是一个非有洞区域：

ooo o.. o.. 这是一个有洞的区域（“甜甜圈”中间的格子与区域外的格子不沿点相邻）：

ooo o.o ooo 这是另一个非有洞区域（中间的格子与右下角的格子沿点相邻）：

ooo o.o oo.

输入格式（文件名：valleys.in）：

输入的第一行包含$N$，其中$1 \le N \le 750$。

以下$N$行每行包含$N$个整数，为方阵每个格子的高度。所有高度$h$满足$1 \le h \le 10^6$。所有高度均为不同的整数。

对于至少19%的测试数据，额外保证$N \leq 100$。

输出格式（文件名：valleys.out）：

输出一个整数，为所有山谷的大小之和。

输入样例：

3
1 10 2
20 100 30
3 11 50

输出样例：

30

在这个例子中，有三个大小为1的山谷：

o.o
...
o..

一个大小为2的山谷：

...
...
oo.

一个大小为3的山谷：

ooo
...
...

一个大小为6的山谷：

ooo
o..
oo.

一个大小为7的山谷：

ooo
o.o
oo.

以及一个大小为9的山谷：

ooo
ooo
ooo

所以，答案为1 + 1 + 1 + 2 + 3 + 6 + 7 + 9 = 30。

供题：Travis Hance